괜찮은 것 같아요신이 쓰는 언어니까 미적분의 힘 배워두는 게

내가 읽은 미적분의 힘

이 책은 스티븐 스트로거츠가 2019년에 발표한 것 저자는 하버드대에서 박사학위를 받고 하버드대와 MIT를 거쳐 1994년부터 코넬대 제이콥 굴드셔먼 응용수학 석좌교수로 재직하고 있다. 저자가 뉴욕타임스에 연재한 수학 칼럼은 영화 코너보다 더 인기 있는 수학 칼럼이라는 찬사를 받았다고 한다.
2. 저자가 이 책을 발표하자 각계각층의 대가들은 극찬을 쏟아냈다. 대표적인 예로 틀리지 않는 방법의 저자이자 위스콘신대 수학교수인 조던 엘렌버그는 당신이 언젠가 미적분학을 배우고 싶다면 언젠가는 바로 지금이다. 스티븐 스트로거츠가 쓴 책이 나왔기 때문이라는 말로 경의를 표했고, 블랙 스완의 저자로 월가의 투자 전문가인 나심 니콜라스 탈레브 씨는 이 책은 위험하다. 이 책은 네가 수학을 사랑하게 될 거야. 심지어 당신을 수학자로 바꿀 위험까지 존재한다는 말로 유쾌한 경고를 했다. 또 행복에 걸려 비틀거린다의 저자인 하버드대 심리학과 교수인 대니얼 길버트는 만약 미적분학이 우주의 언어라면 스티븐 스트로거츠는 그 언어로 말하는 호메로스다라는 말로 저자를 고대 그리스의 전설적 인물로, 그리고 이 책을 <일리아스>와 <오디세이어>에까지 비유했다.
3. 그렇다. 저자의 말처럼 이 책은 수학에서 가장 어렵다는 미적분학의 위대한 개념과 이야기를 우리에게 이해시키려는 의도에서 쓴 책이다. 저자가 이 책에서 강조하고 싶었던 주장은 ‘우주의 비밀이라고 부를 만한 것을 하나 든다면, 미적분학이 바로 그 주인공이다’라는 것이다. 저자는 미적분학은 우주의 비밀을 나타낼 수 있다. 인간이 발명한 이 추론 체계는 자연의 조화에 딱 들어맞는다. 따라서 미적분학은 우리가 한번도 본 적이 없으며 결코 볼 수 없음을 알려줄 뿐만 아니라 결코 존재한 적이 없지만 존재할 수 있었던 것에 대해서도 알려준다.는것을우리가자연스럽게깨달수있도록차근차근설명하고있다.
4. 저자의 설명에 따르면 미적분학이 복잡해 보이는 이유는 복잡한 문제를 다루기 때문이다. 특히 미적분학의 급진적이고 독특한 비법이 분할 정복 전략을 극단적으로, 즉 무한에 이를 때까지 분할과 재조립이라는 두 단계로 나누어 진행하는 데 있어서 어렵게 느껴진다는 것이다. 저자는 위와 같은 미적분학의 원리를 ‘무한 원리’라고 말하고 있는데, 이는 아르키메데스가 원의 넓이를 구하려고 π(원주율)값을 계산한 방식에서, 또한 포물선 활 모양의 넓이를 계산한 방식에서 기원한다(1장 무한, 2장 무한한 힘을 활용한 사람).
5. 하지만 미적분학은 아르키메데스가 죽은 지 1800년이 지나서야 다시 시작될 수 있었다. 그 주인공은 ‘지구’에서 움직이는 물체의 운동에 관한 비밀을 밝혀낸 갈릴레이와 ‘하늘’에서 움직이는 행성의 운동에 관한 비밀을 밝혀낸 케플러였다.그 후 인도의 수학자들이 0과 10진법자리의 값 개념을 발명해 방정식을 대수학적으로 푸는 방법이 이집트, 이라크, 페르시아, 중국에서 개발되고, 또 이것이 유럽에 전해져 미분학에 서광하기 시작했다. 프랑스의 두 수학자 페르마와 데카르트가 각각 독자적으로 좌표(xy 평면)를 개발한 것이었다. 덕분에 대수학과 기하학이 결합해 미분학에 돌파구가 열렸다(4장 미분학에 서광이 비친다).
6. 이처럼 방정식과 곡선이, 대수학과 기하학이, 동양수학과 서양수학이 교차하면서 함수와 로그의 개념이 나왔고(5장 교차로, 6장 변화의 용어), 마침내 뉴턴과 라이프니츠에 의해 무한한 원리에 내재된 운동과 변화의 비밀을 푸는 열쇠를 찾게 된 것이다. 특히 뉴턴은 자신이 만든 운동에 관한 미분방정식(F=ma)을 바탕으로 지상세계와 천상세계의 구분을 없앴다. 다시 말해 뉴턴은 같은 법칙이 항상 모든 장소에 적용된다는 것을, 이 우주가 논리적이라는 것을 보여줬다. 물론 라이프니츠의 말처럼 무한대나 무한소의 개념은 미적분학을 적절하고 간결하게 표현하기 위해 마음이 만들어낸 허구였겠지만 말이다(7장 비밀의 샘, 8장 마음이 만들어낸 허구, 9장 논리적인 우주).
7. 결국 미적분학은 연속적인 무엇인가와 관련해 어려운 문제가 있으면 그것을 무한히 여러 부분으로 나누어 각각 풀고 그 답을 다시 합쳐 원래의 전체를 만듦으로써 문제를 푸는 것이었다. 이것이 저자가 말한 무한한 원리다. 따라서 저자는 미적분학이 사회과학 음악 미술 인문학 분야에서도 얼마든지 새롭게 응용될 수 있고 의학과 생물학 분야뿐만 아니라 금융, 경제, 날씨 분야에 내재된 무작위성 문제에 대처하는 방법까지 가르칠 수 있다고 본다. 그뿐인가. 미적분학은 빅데이터에 활용되어 무한한 상호작용을 가져오고, 인공지능을 포함해 컴퓨터와 미적분학 사이의 동반자 관계가 점점 발전해, 현대 과학의 최대 난제인 양자역학에까지 점점 깊게 옮겨가고 있다는(11장 미적분학의 미래).
8. 이 책을 읽자 조던 엘레버그가 틀린 곳 없는 법이란 책에서 원은 곡선으로만 구성되어 있지만 우리가 밟은 지표면에서 아주 좁은 구역만 놓고 본다면 그것이 완벽한 평면을 많이 닮았듯이 원기둥을 아주 작게 자른 조각은 완벽하게 곧은 직선을 많이 닮았다. 국소적으로는 직선, 대역적으로는 곡선. 이것이 우리가 기억해야 할 구호다. 우리가 뉴턴에게 고마워해야 할 미적분의 기본 개념은 완벽한 원이 전혀 특별하지 않다는 생각이다. 충분히 확대해 보면 모든 매끄러운 곡선은 직선으로 보인다는 의미를 더 깊이 이해할 수 있었다.
9. 한편 저자는 “미적분학은 무한을 사용하여 유한을 연구하고, 무제한을 사용하여 제한된 것을 연구하며, 직선을 사용하여 곡선을 연구한다.”고 말했다(2장 무한한 힘을 활용한 사람). 이는 아마도 영국 워릭대 김영민 교수가 『수학이 필요한 순간』이란 책에서 “제한이 어디에 있는지 발견하고 나서 서서히 그 제한을 극복하는 방법을 찾는 것이 과학적 수학적 사고방식이다. 건전한 과학적 시각이란 근사해 나가는 과정임을 처음부터 받아들이는 것이다. 완벽하게 할 수 없다고 체념하기보다 제한적 조건 속에서 이해할 수 있는 현상이 있다는 것을 받아들이는 것이다. ‘멋지게 만들어가는 과정, 항상 바꿀 수 있는 것, 그리고 섬세하게 만들어가는 과정 자체를 학문이라고 생각할 수도 있을 것이다.’라고 말한 것을 압축적으로 표현한 것이리라.
10.물리학자 리처드 파인먼은 소설가 허먼 워크에게 미적분학을 아느냐고 물은 뒤 워크가 모른다고 대답하자 이렇게 말했다고 한다. 꼭 기억해야죠. 아마도 신은 현미경과 망원경을 사용해 분열과 통합의 무한 변증법을 즐기는 개구쟁이가 아닐까.
– 서평종료
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《미적분의 힘》 – 발췌 요약하여 15분 만에 읽기
입언
우리 우주가 항상 미적분학 언어를 사용해 미분방정식이라는 문장으로 표현할 수 있는 자연의 법칙을 따르는 것은 이상하면서도 경이로운 사실이다. 고대 세계의 4원소인 흙 공기 불 물에서 최근 발견된 전자 쿼크 블랙홀 풀끈에 이르기까지 우주의 모든 무생물체는 미분방정식의 규칙을 따른다. 나는 미적분학이 신이 사용하는 언어라고 한 리처드 파인만의 말은 이것을 의미한다고 생각한다 우주의 비밀이라고 할 수 있는 것을 하나 들라면 미적분학이 바로 그 주인공이다 이것이 바로 이 책의 핵심 주장이다.
미적분학이 복잡해 보이는 이유는 복잡한 문제를 다루기 위해서다. 미적분학이 성공한 비결은 복잡한 문제를 단순한 부분으로 나누는 데 있다. 정말로 급진적이고 독특한 미적분학의 비법은 분할해서 정복하는 이 전략을 극단적으로, 즉 「무한에 이르기까지」추구하는데 있다. 큰 문제를 여러 개의 작은 조각으로 쪼개는 대신 쪼개는 과정을 반복하면서 문제를 가루처럼 아주 작은 부분으로 나누는 부분이 무한히 많이 생긴다. 이 과정이 끝나면 작은 부분을 대상으로 문제를 풀게 되는데, 그렇게 하면 처음의 큰 문제보다 훨씬 쉬워진다. 남은 문제는 이렇게 얻은 작은 답을 맞추는 것이다. 이것이 보통 어려운 단계이지만 적어도 첫 번째 문제를 푸는 것만큼 어려운 것은 아니다.
미적분은 분할과 재조립이라는 두 단계로 나눠 진행된다. 분할 과정에는 항상 미소한 감산 과정이 많이 포함되는데, 이는 부분 간의 차이를 계량화하는 데 쓰인다. 그래서 미적분학의 절반에 해당하는 이 과정을 미분이라고 부른다. 재조합 과정에는 항상 덧셈 과정이 무한히 많이 포함되는데, 부분을 더하여 원래의 전체로 한다. 미적분학의 나머지 절반에 해당하는 이 과정을 ‘적분’이라고 부른다.
이 전략은 무한히 갈라지는 과정을 상상할 수 있는 상황이라면 어떤 문제에도 쓸 수 있다. 이처럼 무한히 분할할 수 있는 대상을 연속체라고 부르며, 그러한 상태를 연속이라고 한다. 어떤 형태, 물체, 액체, 운동, 시간의 간격은 모두 미적분제분소에 넣을 수 있는 곡물이다. 이 모든 것은 연속체나 연속체에 거의 가깝다. 모든 사례에서 사용하는 기본 전략은 같다. 복잡하지만 연속된 문제를 무한히 단순한 하나로 나눠 그것들을 개별적으로 풀어낸 뒤 다시 전체를 만든다.
모든 일에서 난관은 무한한 취급법이 중요하다는 것이다. 무한을 다루고 그 힘을 활용하고 싶은 욕망은 2500년 미적분학 이야기 전체를 관통하는 주요 맥락이다. 미적분학의 발전을 이끈 중요한 수수께끼는 세 가지가 있다. 그 3개는 「곡선」, 「운동」, 「변화」의 수수께끼다. 항상 변화하는 우리 세계의 일부 측면이 무한한 원리에 내재하는 근사와 희망 섞인 사고의 범위 밖에 있음이 분명하다. 이제는 우주의 언어를 더 자세히 알아볼 때가 됐다. 가장 먼저 들러야 할 것은 당연히 무궁무진하다.
1장 무한

2009년 ‘아바타’가 제작됐을 때 애니메이터들은 제임스 카메론의 요구를 받아들여 상상세계 판도라에 살 식물을 하나 만드는 데 약 100만 개의 다각형을 사용했다. 영화의 주무대가 울창한 가상정글이라 많은 식물을 구현해야 했고. 따라서 매우 많은 다각형이 필요했다. <아바타> 제작비가 3억달러이나 든 것은 놀라운 일이 아니다. <아바타>는 처음으로 다각형을 수십억 개 이상 사용한 영화였다.

3장 운동의 법칙을 발견하다

아르키메데스가 죽고 1800년 뒤 새로운 아르키메데스가 출현했다. 이탈리아 수학자 갈릴레오 갈릴레이와 독일 수학자 요하네스 케플러였다. 이들은 아르키메데스의 정적인 세계를 뛰어넘어 물체가 어떻게 움직이는지를 탐구했다.

갈릴레이가 운동에 관한 연구결과에서 발표한 것 중 가장 단순하고 가장 놀라운 발견은 홀수 1, 3, 5, 7…에 가려진 낙체의 법칙에 관한 비밀이었다. 갈릴레이는 물체가 왜 떨어지는지를 생각하는 대신 어떻게 떨어지는지를 계량화하려 했다. 그러자면 떨어지는 물체를 측정하면서 매 순간 그 위치를 추적하는 방법을 찾아야 했다. 여기서 갈릴레이가 생각해낸 해법은 물체의 운동 속도를 늦추는 방법이었다. 돌을 다리 위에서 떨어뜨리는 대신 경사면 위를 천천히 굴리도록 했다. 거의 수평에 가깝도록 빗면의 기울기를 줄여 공의 하강 속도를 원하는 만큼 늦출 수 있어 매 순간 공이 지나가는 위치를 측정할 수 있었다. 공이 내려오는 동안 시간을 재는 데 물시계를 사용했다.

갈릴레이는 이 실험을 수없이 되풀이했다. 빗살의 기울기에 변화를 주기도 하고 공이 굴러가는 거리를 변화시키기도 했다. 그 결과 정지 상태에서 낙하한 물체가 동일한 시간 간격 사이에 통과하는 거리는 1에서 시작하는 홀수와 같은 비율로 나타난다는 결론을 얻었다. 즉, 첫 번째 시간 동안 공은 1단위의 거리를 이동하고, 두 번째 시간 동안 3단위만 이동하며, 따라서 운동이 시작된 후 공이 이동한 총거리는 1+3=4단위이다. 세 번째 시간 단위로 이동한 총거리는 1+3+5=9단위가 된다. 1, 4, 9는 연속적인 정수의 제곱에 해당한다. 따라서 12=1, 22=4, 33=9. 따라서 갈릴레이의 홀수 법칙은 전체 낙하거리가 흘러간 시간의 제곱에 비례한다고 나타내는 것으로 보인다.

갈릴레이가 ‘지구’에서 움직이는 물체의 운동에 관한 비밀을 풀었다면 케플러는 ‘하늘’에서 움직이는 행성의 운동에 관한 비밀을 풀었다.그는 당대 최고의 관측 천문학자였던 추코브라헤의 조수로 있었는데, 추코가 죽자 화성과 나머지 행성에 관한 추코의 방대한 관측 자료를 입수했다. 케플러는 행성들의 움직임을 설명하기 위해 이론을 하나씩 적용시켜 비교했다.

케플러의 최초의 위대한 발견은 모든 행성이 타원궤도를 돈다는 ‘타원궤도의 법칙’이었던 타원궤도에서 두 개의 초점 중 하나에 태양이 위치해 있다는 사실도 발견했다. 두 번째 법칙은 궤도의 속도에 관한 것이었다. 즉 행성이 태양 주위를 도는 동안 행성과 태양을 잇는 가상의 선이 같은 시간 동안 통과하는 면적은 같다는 면적 속도 일정한 법칙이다. 요컨대 행성은 일정한 속도로 움직이지 않는다는 것이다. 대신 태양에 가까워질수록 속도가 빨라진다. 세 번째 법칙은 행성 공전주기의 제곱은 행성과 태양 사이의 거리 입방에 비례한다는 발견이다. 즉 태양에서 멀리 떨어진 행성일수록 궤도를 더 느리게 돌고 공전 주기도 더 길다는 얘기다.

갈릴레이와 케플러의 연구는 수학 분야에서도 새로운 질문을 낳았다. 특히 곡선은 운동에 관한 질문을 했다. 속도가 매순간 바뀌는 운동은 어떻게 하면 계량화할 수 있을까. 숱한 질문이 소용돌이치는 가운데 이슬람과 인도 수학에서 나온 개념들이 유럽 수학자들에게 앞으로 나아가는 새로운 방법을 제시해 돌연 미분학을 탄생시키는 계기가 됐다.

4장 미분학에 서광이 비치다

비록 미적분학은 유럽에서 꽃을 피웠지만 그 뿌리는 다른 곳에서 왔다. 특히 대수학은 아시아와 중동에서 시작되었다. 인도 수학자들은 0과 10진법의 자리 개념을 발명해 방정식을 대수학적으로 푸는 방법이 이집트 이라크 페르시아 중국에서 개발됐다. 대수학이 말로 표현된 문제를 다루던 이 시대에 문제의 해는 답을 향해 나아가는 단계별 경로로 제시됐다. 이 방법은 무함마드 이븐 무사 알콰르즈미가 쓴 유명 교과서에 잘 설명돼 있다. 문제를 해결하는 단계별 절차를 뜻하는 알콜리즘이라는 단어는 바로 알콰리즈미의 이름에서 유래했다.

이에 못지않게 큰 진전이 산술 분야에서 일어났는데 네덜란드의 ‘시몬 스테빈’이 인도-아라비아 십진수를 ‘소수’로 일반화하는 방법을 보여줬다. 스테빈의 이전에는 십진법은 어떤 정수 부분에만 적용했고, 1보다 작은 부분은 분수로 표현했다. 스테빈의 새로운 방식에서는 1조차도 몇 개로 쪼개어 소수점 뒤에 정확한 자릿수를 붙임으로써 10진법을 사용할 수 있었다. 오늘날 우리 눈에는 너무나 단순해 보이지만 그 당시에는 미적분학을 가능하게 한 혁명적 개념이었다. 먼저 1이 더 이상 분할할 수 없는 신성불가침의 존재가 아님이 밝혀지자 모든 양(상수, 분수, 무리수)이 같은 기반 위에서 하나의 큰 수의 가족으로 통합됐다. 이는 미적분학에 시간, 공간, 운동, 변화를 기술하는 데 필요한 무한히 정확한 ‘실수’를 제공했다.

미적분학 역사의 첫 돌파구는 1630년경 두 프랑스 수학자 피에르 드 페르마와 르네 데카르트가 각각 독자적으로 대수학을 기하학과 결합해 열렸다. 그들의 연구에서 새로운 종류의 수학인 “해석기하학”이 탄생했는데 해석기하학의 중심무대는 방정식이 숨을 불어넣으면서 형태를 띠는 “xy 평면”이었다.

오늘날 우리는 변수 간의 관계를 그래프로 나타낼 때 xy 평면을 사용한다. 그래프는 일종의 추상화다. 그래프는 다른 수학 영역의 상호작용과 협력을 가져온다. 직각으로 교차하는 두 개의 축으로 이루어진 그래프로 그은 직선상의 두 점과 같은 형태의 영역이 그것이다. 이런 개념의 융합을 통해 초라한 도표는 수와 관계와 형태를 혼합하고 그렇게 함으로써 산술과 대수학을 기하학으로 융합한다.

오늘날 고등학교에서 대학수학을 배우는 학생들은 y=x2와 같은 방정식을 자주 그래프로 그리는데 그 곡선은 포물선에서 나타난다. 놀랍게도 x와 y의 형태로 2차항을 포함하며 그보다 높은 차수의 항을 포함하지 않는 모든 방정식이 그리는 곡선은 포물선, 타원, 쌍곡선, 원의 4개 밖에 없다. 즉, 이차방정식 xy=1은 쌍곡선, x2+y2=4는 원, x2+2=4는 타원, x2+2xy+y2+x+3y=2는 포물선을 나타낸다. 페르마와 데카르트는 이 기막힌 우연의 일치를 최초로 발견했다.

대수학은 기하학에 의해 체계화되었다. 기호의 사용은 마음을 해방시키고 시간과 에너지를 절약하도록 했다. 한편 기하학은 대수학에 의미를 부여했다. 방정식은 더 이상 무의미하지 않았다. 이제 방정식은 구불구불한 기하학 형태가 구체화된 것이다. 전혀 새로운 방정식을 기하학적으로 보고 곡선과 표면으로 이루어진 전혀 새로운 대륙이 나타났다. 기하학적 동물상과 식물상이 넘치는 정글이 발견돼 목록에 작성되고 분류되고 해부되기만을 기다렸다.

5장 교차로

미적분학은 시간까지 수학으로 기술할 수 있는 대상으로 삼았다. 그리고 우리가 사는 세계가 그 모든 부당함과 불행과 혼돈에도 불구하고 깊숙한 내면에서는 수학의 법칙에 따른 합리적인 세계일지 모른다는 희망을 주었다. 페르마와 데카르트가 순수수학의 한 도구라고 생각했을 뿐인 xy 평면은 처음부터 방정식과 곡선의 만남, 대수학과 기하학의 만남, 동양수학과 서양수학의 만남이 일어난 일종의 교차점이었다.

오늘날 우리는 xy 평면을 한 변수가 다른 변수에 어떻게 종속되며 모든 것이 일정할 때 x와 y 사이에 어떤 관계가 성립하는지 시각화하는데 사용한다. 이러한 관계는 하나의 변수의 「함수」로서 모델화할 수 있다. 기호로는 y=f(x)라고 쓴다. 여기서 f는 나머지 모든 것이 일정한 값으로 고정되어 있는 상황에서 변수 y(종속변수)가 변수 x(독립변수)에 어떻게 종속되는지를 나타내는 함수를 말한다. 과학자, 공학자, 금융시장 전문가, 그리고 의학 연구자들은 하나가 다른 것에 어떤 영향을 미치는지를 보여 주는 수 사이의 관계를 봐야 한다. 그 관계를 설명하기 위해서는 함수가 필요하다. 함수는 운동과 변화를 모델화하는 데 필요한 도구를 제공한다.

지극히 점진적인 형태로 일어나는 증가를 계량화할 때는 x2나 x3과 같은 「멱함수」를 자주 사용한다. 멱함수는 변수 x 의 지수가 거듭 제곱으로 표시된 함수를 말한다. 그 중 가장 간단한 것은 선형함수인데, 선형함수는 종속변수 y가 독립변수 x와 정비례관계에 있다. x나 x2와 같은 얌전한 함수와는 대조적으로, 2x나 10x와 같은 ‘지수함수’는 훨씬 폭발적인 증가를 보이지만, 눈덩이처럼 불어나면서 스스로를 급속하게 살이 찐다. 지수 함수적인 증가는, 실제, 바이러스의 증식으로부터 소셜 네트워크에서 정보가 바이러스와 같이 확산하는 과정에 이르기까지, 어떤 것이 눈덩이처럼 증가하는 전 과정에 포함되어 있다.

2x나 10x와 같은 지수함수에서 2와 10을 이 지수함수의 ‘아래’라고 부르고 x는 ‘지수’라고 부른다. 10 x 에서 x 의 값은 10 을 얼마나 여러 번 곱하는가를 나타낸다. 예를 들어 21조는 십진법으로 21,000,000으로 표기할 수 있으나, 보다 간단하게 21 X 1012=2.1 × 1013으로 표기할 수도 있다. 이 큰 수에 10억을 곱해야 한다면 (2.1×1013)×1022로 표기하는 것이 훨씬 간단하다. 따라서 10의 누승을 곱할 때는 그 지수를 더하면 된다(10a×10b=10a+b).

10의 거듭제곱은 매우 편리하므로 끝수가 있는 수도와 같은 방법으로 나타내면 된다. 예를 들면 90을 보자 90이 100보다 약간 작고 100이 102인 것을 감안하면 90은 아래