아래 문자는 네이버 블로그 검색 유입을 위해 위 사진에 있는 글에서 수식을 제외한 부분만 복사하여 붙인 것입니다. 따라서 읽지 않아도 됩니다.
네이버 블로그의 수식편집기가 한글 문서의 수식편집기보다 불편하고, 더욱이 스마트 에디터원의 수식편집기는 글 바로 옆에 수식하는 것이 불가능하여 부득이 이런 방식으로 글을 쓰게 되었습니다.12.3 편도함수(Partial Derivatives) 문제에서 특별히 언급하지 않은 1계 편도함수가 연속, 2계 편도함수가 연속이라는 조건을 줄 때가 있는데, 이는 모든 1계, 2계 편도함수가 연속이라는 뜻이다. 즉, 가 2변수 함수일 때, 1계 편도 함수가 연속이면 가 모두 연속이고, 2계 편도 함수가 연속이면 가 모두 연속이다.Problem 12.3.1일 때의 값을 구하시오.sol) 모든 것에 대해서이므로, 편도함수의 정의에 의하면이다. ■Problem12.3.2일 때에 대해서만 포함하는 식으로 나타내십시오.sol) 편도함수의 정의에 따르면 다음을 얻는다.■Problem12.3.2는 의 편도함수를 직접 구해, 를 대입하려고 하면 계산이 복잡하다. 하지만 편도함수 정의를 사용하면 계산량이 줄어드는데 그 이유는 그래서다.Problem 12.3.2와 같이 미분적분학으로부터를 계산할 때, 이면편도함수의 정의를 사용하여 계산하는 것이 더 쉬운 경우가 많다.Problem 12.3.3에 대한 값을 구하시오.sol) 편도함수의 정의에 따르면 다음을 얻는다.따라서 편도함수의 정의에 의하면 다음을 얻는다.
■Problem 12.3.3에서 얻을 때, 실제로는 인 경우와 인 경우로 나누어 풀어야 한다. 사실 극한은 이 분모에 포함돼 있기 때문이다. 그러나 편의상 case를 나누지 않고 계산하는 편이다. 를 얻을 때도 같은 이유로 설명을 생략했다.Cliraut’stheorem에 따르면 Problem 12.3에서 주어진 함수에 대해 둘 중 적어도 하나는 에서 연속이 아님을 알 수 있지만 실제로는 모두 불연속임을 증명해 보자. 의 함수식은 분자, 분모가 모두 다항식이므로 Cliraut’stheorem에 따르면 원점을 제외한 모든 점에서 성립한다. 그리고 Problem 12.3.3의 해석 과정을 그대로 따르면 ‘시’이자 ‘시’임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 다음을 얻을 수 있다.따라서 다음을 얻는다.그렇기 때문에 모든 것에 극한이 존재하지 않는다. 따라서 모두 불연속이다.미분적분학에서 1계, 2계 편도함수가 에서 연속인지 아닌지를 판정하는 문제를 풀 때는 편도함수를 직접 계산하는 것보다는 Problem 12.3과 같이 편도함수의 정의를 사용하는 방향으로 접근하는 것이 편한 경우가 많다.이를 위한 요령을 소개한다. 가 주어졌을 때, 가부터 연속인지 불연속인지를 판정하는 문제를 풀 때 먼저 편도함수의 정의를 사용하여 를 계산할 것을 권장한다.마찬가지로 가에서 연속인지 불연속인지를 판정하는 문제를 풀 때도 편도함수의 정의를 이용해 를 먼저 계산할 것을 권장한다.이 방법을 사용해서 다음 문제를 풀어보자.Problem 12.3.4에 대해 가에서 연속인지 불연속인지를 판정하시오.sol) 편도함수의 정의에 따르면 다음을 얻는다.따라서 ‘-는데~기 때문에’에서는 불연속■Problem 12.3.4에서의 편도함수의 정의에 의하면이다. 따라서 가에서 연속인지를 판정하기 위해서는 편도함수를 직접 계산해야 한다. 직접 계산하면 다음을 얻는다.뒷면이기 때문에 길에서 불연속임을 알 수 있다.Problem 12.3.52 변수 함수는 일 때 다음과 같이 정의되어 있다.이때 2변수함수를 다음과 같이 정의하자. 의 함수값을 몇 가지 구해 보면 된다.다음 물음에 답하시오.(a) 모든 것에 대해서임을 증명하시오.(b) 함수를 라고 정의하자. 뒷면임을 증명하시오.sol)의 함수값을 다음과 같이 좌표평면 상에 나타내자. 노란색으로 표시된 부분은 를 충족하는 영역이다.
(a). 뒷면 모두에 대해서이기 때문에 편도함수의 정의에 의하면임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 때임을 증명하면 충분하다.그림을 보면 때다. 다음으로 ‘-으면서’에 가까워질 때가 어떻게 변하는지 살펴보자.이므로 을 만족하는 것은 존재한다. 따라서 이때의 점은 두 곡선 사이에 존재한다. 그러므로 어떤 때가 충분히 작으면 을 만족하고 다음을 얻는다.
따라서, 모든 것에 대하여이다. ■(b). 뒷면 모두에 대하여이기 때문에 다음을 얻는다.이면이기 때문이다. 따라서 을 가정하자.case1)의 경우이기 때문이다. 그리고 뒷면이기에 다음을 얻는다.
case2)의 경우이며 주어진 범위에서 를 충족한다.이므로, case1에 의하면 가 성립한다. 따라서 다음을 얻는다.
따라서 이면이다. ■Problem12.3.5이므로 Problem12.3.5에서 주어지는 다음 등식의 반례가 된다.
미적분(1) 또는 공학수학(1)에서 편의상 1변수 함수를 나타내는 것을 배웠다. 편도함수도 비슷한데, 2변수함수를 편의상 다음과 같이 나타낸다.3변수 함수에 대해서도 마찬가지로 편의상 다음과 같이 제시한다.
교재에서는 Client’stheorem을 가 모두 포함하는 적당한 Open disk 위에서 연속되었을 때 성립한다고 소개하지만 실제로는 이보다 조금 약한 조건에서도 성립한다. 다음 문제를 풀어보자.Problem 12.3.6 함수에 대해 점을 포함하는 Open disk 위에서 가 연속이면 존재하고 있음을 증명하시오.sol) 가를 포함하는 Open disk이기 때문에 다음 그림과 같이 4점을 정점으로 하는 직사각형이 내부에 존재하도록 하는 것이 아니라 실수들이 존재한다.
그렇다면, “그러면”이라고 할 때이기 때문에, Meanvaluetheorem에 의하면, 다음을 만족하는가 하는 사이에 존재하고, Meanvaluetheorem을 다시 사용하면, 을 만족하는가 하는 사이에 존재한다. 이때는 에 의존하지 않는다.
한편, “-그러므로”를 얻을 수 있다.를 고정시키고 양변에 극한을 취하면 위에서 연속이기 때문에 다음을 얻는다.따라서 이면에서는 위에서부터 연속이기 때문에 다음을 얻는다.따라서 존재하고 있다. ■
